矩阵理论

北航《矩阵理论与应用1》的不完全笔记，主攻一些基础概念

笔记主要参考赵迪老师上课内容以及王磊老师的那本教材，如有错误，欢迎指出

特殊矩阵

H 阵

Hermite matrix

定义

\(A=A^H \in C^{n\times n}\)

判定

A是Hermite矩阵的充要条件

①存在酉矩阵 \(U\) 使得 \(U^HAU=\Lambda= \mathbf{diag}(\lambda_1,\cdots,\lambda_n)\)

\(\lambda_1,\cdots,\lambda_n\) 均为实数

②对任意方阵\(S\) ，\(S^HAS\) 为Hermite矩阵

如果 A , B 是Hermite阵，则\(AB\) 是Hermite矩阵的充要条件是\(AB=BA\)

性质

主对角线元素对角元为实数

\(A=\begin{pmatrix}a_{11}&&&*\\&a_{22}&&\\&&\ddots&\\*&&&a_{nn}\end{pmatrix}A^H=\begin{pmatrix}\overline{a_{11}}&&&*\\&\overline{a_{22}}&&\\&&\ddots&\\*&&&\overline{a_{nn}}\end{pmatrix}\)

\(A\) 有 \(n\) 个互相正交的特征向量，即 \(X_1\bot X_2\bot...\bot X_n\)

\(A\) 的不同特征值所对应的特征向量是相互正交的

proof

\(a_{i,j}=\overline{a_{j,i}}\)

\(1\leq i,j\leq n\)

任何实对称矩阵是Hermite矩阵

每个\(H\)阵\(A\) 优相似于对角阵

存在U阵 \(Q\) 使 \(Q^{-1}AQ=Q^HAQ=\Lambda=\begin{pmatrix}\lambda_1&&\\&\ddots&\\&&\lambda_n\end{pmatrix}\\ A=Q\Lambda Q^{-1}=Q\Lambda Q^H\)，且 \(\lambda(A)\in R\)

proof

特征根都是实数，\(\{\lambda_1,\cdots,\lambda_n\}\in R\)

proof

对正整数 \(k\)，\(A^k\) 也是 \(H\) 阵

若 \(A\) 可逆，\(A^{-1}\) 也是 \(H\) 阵

对实数 \(k , p\) ，\(k A + p B\) 也是Hermite矩阵

(A , B为n 阶Hermite矩阵)

任一复方阵都可以唯一地表示成Hermite矩阵和反Hermite矩阵之和

乘积形式的H阵性质

对一切矩阵\(A=A_{n\times p}\) 且 \(n\geq p\) ，\(A^HA\)与\(AA^H\)都是Hermite阵

proof

\(AA^H\) 矩阵的迹

\(A_{n\times p}=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1p}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{np}\end{pmatrix}\in C^{n\times p}\\ A_{p\times n}^H=\begin{pmatrix}\overline{a_{11}}&\cdots&\overline{a_{n1}}\\\vdots&\ddots&\vdots\\\overline{a_{1p}}&\cdots&\overline{a_{np}}\end{pmatrix}\in C^{p\times n}\)

\(\displaystyle tr(A^HA)=tr(AA^H)=\sum\limits_{i=1,j=1}^n{|a_{ij}|^2}\)

推论

\(tr(AB^H)=tr(B^HA)=\sum a_{ij}\overline{b_{ij}}\)

\(A^HA\) 与 \(AA^H\)只相差 \(n-p\) 个 0 根

proof

\(A^HA\) 与 \(AA^H\) 是半正定阵

proof

\(r(AA^H)=r(A^HA)=r(A)=r(A^H)\)

proof 1

proof 2——只需证\(A^HAX= 0\) 的解也是 \(AX=0\) 的解

二次型、正定阵

参考来源 csdn

Hermite二次型定义

令 \(A^H=A\in \Bbb C^{n\times n}\)，\(X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\v_n \end{pmatrix}\)

称 \(X^HAX=(\overline{x_1},\overline{x_2},\cdots,\overline{x_n}) A\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}\\\)为矩阵 \(A\) 产生的二次型，记作 \(f(x)=X^HAX\)

正定二次型与正定阵定义

若\(A^H=A\) ，对一切\(X\neq0\) ，有\(X^HAX>0\) ，则\(f(x)=X^HAX\)为正定二次型，\(A\)为正定阵，记为 \(A>0\)

若\(A^H=A\) ，对一切\(X\neq0\) ，有\(X^HAX\geq0\) ，则\(f(x)=X^HAX\)为半正定二次型，A为半正定阵，记为 \(A\geq0\)

补充定义

判定\(n\)阶Hermite矩阵\(A\)正定

all

正定阵定理

\(A>0\Longleftrightarrow A\)为Hermite阵，且\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n>0\)

proof

\(A\geq0\iff A\)为Hermite阵，且\(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n\geq0\)

单位阵是正定阵

正定阵间必合同

\(A >0 \iff A \triangleq \Lambda\)

\(\Lambda \triangleq I\)

若 \(A,B\) 为同阶正定阵，则 \(A \triangleq B\)

proof

补充

实正定阵的重要结论

斜H阵

Skew-Hermit

\(A^H=-A\)

性质

对角元为纯虚数

若 \(B\) 是 skew-Hermit \(\rightarrow\) \(iB\) 与 \(\displaystyle \frac{B}{i}\) 都是Hermit

若 \(A\) 是 Hermit \(\rightarrow\) \(iA\) 与 \(\displaystyle \frac{A}{i}\) 都是Skew-Hermit

\(A\) 是 Hermit \(\Leftrightarrow\) \(iA\) 是 Skew-Hermit

正交阵

\(A^TA=AA^T=I\)

性质

正交矩阵的任一行（列）同时乘以−1时，得到的新矩阵仍为正交矩阵

正交阵的所有特征值的模值为1

正交阵的行列式必为 \(\pm1\)

正交阵的乘积仍为正交阵

判定

定义法 \(A^TA=AA^T=I\)

\(n\)阶实方阵\(A\)是正交矩阵当且仅当

\(A\)的所有特征值的模值为\(1\)

且存在酉矩阵\(U\)使得 \(U^HAU=diag(λ_1,⋯,λ_n)\)

其中\(λ_1,⋯,λ_n\)是A的n个特征值

优阵（U阵）

如果 \(A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)_{n\times n}\) 是预优阵且\(|\alpha_1|=|\alpha_2|=\cdots=|\alpha_p|=1\)，那么\(A\) 是一个优阵

判定

\(A=(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)_{n\times n}\)是U阵 \(\iff\)

\(|\alpha_1|=|\alpha_2|=\cdots=|\alpha_p|=1\)

且 \(\alpha_1\perp\alpha_2\perp\cdots\perp\alpha_n\)

\(A=A^{n\times n} 是 U阵 \\ \Leftrightarrow A^{H} A=I_{\mathrm{n}} \\ \Leftrightarrow A^{-1}=A^{H} \\ \Leftrightarrow AA^{H}=I_{\mathrm{n}}\)

\(\because AA^{-1}=I\)

注意：U阵必可逆

\(n\)阶复方阵\(A\)是U阵当且仅当

\(A\)的所有特征值的模值为\(1\)

且存在酉矩阵\(U\)使得 \(U^HAU=diag(λ_1,⋯,λ_n)\)

其中\(λ_1,⋯,λ_n\)是A的n个特征值

性质

如果 A 是U阵

如果 \(A_{n,n}和B_{n,n}\) 是U阵 \(\Rightarrow\) \(AB\)是U阵

\(A 是U，且X_1\bot X_2\cdots\bot X_p \Rightarrow\) \(AX_1\bot AX_2\cdots\bot AX_p\)

\(k=\pm1,kA=(k\alpha_1,k\alpha_2,\cdots,k\alpha_n)\text{ 为优阵}\)

\(B=(\beta_1,\beta_2,\cdots,\beta_n)\)为优阵，其中\(\beta\text{ 组为 }\alpha\text{ 组的重排}\)

\(|Ax|^2=|x|^2\)

\(x\bot y\Rightarrow Ax\bot Ay\)

\((Ax,Ay)=(x,y)\)

拓展性质

U阵的任一行（列）同时乘以模为1的任何数后，得到的新矩阵仍为U阵

U阵的乘积仍为U阵

\(A\) 所有特征值的模值为1，行列式的模值为1

正规阵

方阵 \(A\) 满足 \(A^HA=AA^H\)

正规阵必为方阵

判定

H 阵 、斜H阵、正交阵、（包含实正交阵）都是正规阵

对角阵一定是正规阵

严格三角阵（非对角形）一定不是正规阵

实对称与实反对称阵都正规

复方阵 \(A\) 是正规矩阵 当且仅当 \(A\) 有 \(n\) 个特征向量构成\(\Bbb C^n\) 空间的一组标准正交基，且属于 \(A\)的不同特征值的特征向量正交

复方阵 \(A\) 是正规矩阵 当且仅当 \(A\) 酉相似于对角阵

\(n\)阶方阵\(A\)正规的充分必要条件是它与一个具有互异的特征值且与\(A\)有相同的特征向量的矩阵\(B\)可交换(即\(AB=BA\))

若两个正规矩阵可交换，则它们的乘积也是正规矩阵

proof

性质

若\(A\)正规，则\(kA＋cI\)正规

若\(A\)正规，则\(A\)与\(A^H\)必有相同特征向量

即若\(A\)正规，且\(AX＝cX\)，则\(A^HX＝\bar{c}X\)

若\(A\)正规，则\(Q^HAQ\)也正规，其中\(Q\)为U阵（\(QQ^H＝I\)）

正规阵的优相似必正规

若\(A\)正规，则任意多项式\(f(A)＝λ_ 0 I+λ _1 A+λ _2 A ^2 +⋯+λ_nA^K\)也正规

多项正规定理——正规阵的多项式也正规

正规阵的奇异值为特征值的绝对值

易错

× 若A是正规矩阵，则A的特征向量必两两正交

引理

\(\text{若分块阵 }A=\begin{pmatrix}B&C\\0&D\end{pmatrix}\text{正规，则 }C=0\text{，且 }B,D\text{ 都正规，即 }A=\begin{pmatrix}B&0\\0&D\end{pmatrix}\)

度量矩阵

Gram Martrix

定义

设\(ϵ_1,⋯,ϵ_n\)是内积空间 \(V\) 中的一组基，称n阶矩阵A 为\(V\) 关于基 \(ϵ_1,⋯,ϵ_n\) 的度量矩阵

记为 \(G(ϵ_1,⋯,ϵ_n)\)

tips

内积空间中内积与度量矩阵是一一对应的

\((x,y)=η^HA^Hξ\)

设 \(ϵ_1,⋯,ϵ_n\) 是内积空间V的一组基，则 \(∀x,y∈V\),有

性质

设 \(G(ε_1,⋯,ε_n)\) 和\(G(ϵ_1,⋯,ϵ_n)\) 均为内积空间 \(V\) 的度量矩阵

\(G(ε_1,⋯,ε_n)\) 和 \(G(ϵ_1,⋯,ϵ_n)\) 是正定Hermite矩阵

\(G(ε_1,⋯,ε_n)\) 和 \(G(ϵ_1,⋯,ϵ_n)\) 合同

即存在非奇异矩阵（可逆矩阵） \(P\) 使得

\(P^HG(ε_1,⋯,ε_n)P=G(ϵ_1,⋯,ϵ_n)\)

\(P\) 是由基 \(ε_1,⋯,ε_n\) 到基\(ϵ_1,⋯,ϵ_n\) 的过渡矩阵

Householder矩阵

定义

设 \(w∈ℂ^n\) 是单位向量

\(H(w)=I−2ww^H\)

性质

\(\big(H(w)\big)^H=H(w)=\big(H(w)\big)^{−1}\)

\(|H(w)|=−1\)

特征值 n-1个1， 1个 -1

设 \(x, y∈ℂ^n\) 且\(x≠y\)，则存在单位向量 \(w\) 使得\(H(w)x=y\) 的充分必要条件是

\(x^Hx=y^Hy\quad,x^Hy=y^Hx\)

此时可取 \(\displaystyle w=\frac{e^{iθ}(x−y)}{‖x−y‖}\)

其中θ为任一实数，实际求就取0

一定可以酉相似对角化

奇异矩阵

\(|A|=0\)

没有逆矩阵

λ矩阵

定义

以 λ多项式 为元素的矩阵称为\(\lambda\)矩阵，记为A(λ)

\(A(λ)=[a_{ij}(λ)]_{m×n}\)

\(a_{ij}(λ)∈P_n(λ)\)

λ矩阵的秩

矩阵\(A(λ)\)中非零子式的最高阶数r 定义为\(A(λ)\)的秩，记为rank(A(λ))=r

例子

λ矩阵相抵

定义

若\(\lambda\)矩阵\(A(\lambda)\)经过有限次初等变换化为\(B(\lambda)\)，则称\(A(\lambda)\)与\(B(\lambda)\)相抵

\(\lambda\)矩阵的初等变换

即存在可逆阵 \(P(\lambda)\) 和 \(Q(\lambda)\)，使得 \(A(\lambda ) = P(\lambda)B(\lambda)Q(\lambda)\)

\(A(λ)≅B(λ)\)

判定

\(\lambda\)矩阵\(A(\lambda)\)与\(B(\lambda)\)相抵 的充要条件

or 完全一致的不变因子

即Smith标准型相同

or 具有相同的各阶行列式因子

行列式因子

注意：行列式因子的个数=\(\lambda\)矩阵的秩！

设 \(\lambda\) 矩阵 \(A(\lambda)\) 的秩为 \(r\)，对于正整数 \(1\le k\le r\)，\(A(\lambda)\) 的全部 \(k\) 阶子式的首1最大公因式称为 \(k\) 阶行列式因子，记作\(D_k(\lambda)\)

例子

or 完全一致的初等因子，且 \(rank\big (A(λ)\big)=rank\big(B(λ)\big)\)

性质

\(\lambda\)矩阵相抵则其秩相同，反之则不然

相抵的\(\lambda\)矩阵具有相同的秩和相同的各阶行列式因子

复方阵A和B相似当且仅当它们的特征矩阵相抵

相似与相抵之间的关系

例子

λ矩阵的逆矩阵

定义

设 \(A(λ)\) 是 \(n\) 阶 \(λ\) 方阵，若存在 \(n\) 阶\(λ\)方阵\(B(λ)\)满足\(A(λ)B(λ)=B(λ)A(λ)=I\) 则称λ矩阵A(λ)是可逆的，并称B(λ)为A(λ)的逆矩阵，记作\(A(λ)^{−1}\)

判定

\(\lambda\)方阵\(A(\lambda)\)可逆的充分必要条件是其行列式\(|A(λ)|\)为非零常数

Smith标准形

定义

设 \(λ\) 矩阵 \(A(\lambda)\) 的秩为 \(r\)

此标准形为\(A(\lambda)\)的Smith标准形

\(d_i(λ)\) 是首1多项式，且 \(d_i(λ)|d_{i+1}(λ)\)

tips

\(A(\lambda)\)不一定是方阵，故Smith标准形不一定是对角阵

Smith标准形中不变因子与行列式因子之间的关系

重要

\(\lambda\)矩阵的Smith标准形是唯一的

Frobenious定理

设 \(A∈ℂ^{n×n}\)

其特征矩阵 \(λI−A\) 的Smith标准形为 \(\rm diag(d_1(λ),…,d_n(λ))\)

则 \(A\) 的最小多项式\(m_A(λ)=d_n(λ)\)

注：\(\lambda I−A\)的初等因子的最小公倍式即为矩阵\(A\)的最小多项式\(m_A(\lambda)\)

例子

求Smith标准型

求初等因子、不变因子、Smith标准型

不变因子

定义

在\(\lambda\) 矩阵\(A(\lambda)\)的Smith标准形中

\(d_1(λ),⋯,d_{r}(λ)\) 由 \(A(\lambda)\)唯一确定的，称为\(A(\lambda)\)的不变因子

tips

初等变换不改变\(\lambda\)矩阵的不变因子

例子

初等因子

定义

例子

注：初等因子组可能存在相同的因子

tips

初等变换不改变\(A(\lambda)\)的初等因子

设\(\lambda\)矩阵\(A(\lambda)\)为对角块矩阵

即\(A(λ)=diag(A_1(λ),⋯,A_s(λ))\)

则 \(A_1(λ),⋯,A_s(λ)\) 初等因子的全体就是\(A(λ)\) 的全部初等因子

行列式\(|\lambda I-A|\) 等于全体初等因子的乘积

tips

数字矩阵是特殊的\(\lambda\)矩阵

复方阵A的特征矩阵 \(λI−A\) 是\(\lambda\)矩阵

\(λI−A\) 总是满秩的

行列式\(|\lambda I-A|\) 等于全体初等因子的乘积

行列式\(|\lambda I-A|\) 等于n阶行列式因子

λ方阵\(A(λ)\)可逆的充分必要条件是其行列式\(|A(λ)|\)为非零常数

在求λ矩阵的Smith标准形、不变因子或初等因子时

可先将λ矩阵作初等变换，使得变换后的矩阵为对角（块）矩阵

利用定理求出λ矩阵的初等因子，进而求出Smith标准形和不变因子

单纯阵

定义

1

2

性质

方阵A是单纯矩阵的充分必要条件

or \(A\)的特征矩阵 \(λI−A\)的初等因子是一次的

or \(A\)的特征矩阵 \(λI−A\) 的不变因子无重根

充分条件

若复方阵A的零化多项式 \(g(λ)\) 无重根，\(\Rightarrow\)则矩阵A是单纯矩阵

若复方阵是幂等阵，则一定可以对角化

幂零阵、幂等阵

幂零阵

定义

\(A^k=0\)，\(A \in \Bbb C^{n\times n}\)

性质

A的全体特征根为0

\(|A+I| =1\)

proof

幂等阵

也称 \(A\) 为 投影矩阵

定义

\(A∈ℂ^{n×n}\)

\(A^2=A\)

性质

\(A\in \Bbb C^{n\times n}_r\) 为幂等阵

\(A^H\)，\(A^∗\) 和 \(I−A\)都是幂等矩阵

A 为单纯阵且相似于对角阵\(\Lambda = \begin{bmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}\)

\(\rm tr(A)=rank(A)\)

幂等阵的特征值只能是或者0或1，\(r\)个1，\(n-r\)个0

proof

\(N(A)=R(I-A)\)

充要条件

\(\mathbb C^n=N(A) \dot{+}R(A)\)

\(\mathbb C^n=N(A) \dot{+} N(A-I)\)

\(Ax=x\) \(\iff\) \(x∈R(A)\)

其中 \(x\in \Bbb C^n\)

proof

\(\displaystyle \rm e^{tA}=I+(e^t-1)A\)

做题技巧

若\(A，B，A-B\)均为投影矩阵，则\(AB=BA=B\)

proof 由\(A^2=A，B^2=B，(A-B)^2=A-B\\ \Rightarrow 2B =AB+BA\\ \Rightarrow2AB=AB+ABA，2BA=ABA+BA\\ \Rightarrow AB=BA=B\)

秩一矩阵

\(A=\alpha \beta^T\)，\(\rm rank(A)=1\)

性质

设\(A\) 为 \(n\) 阶 秩一矩阵

\(A\) 的 \(n\) 个特征值是 1，1 个特征值为\(\rm tr(A)\)

\(\rm tr(A) = \beta^T\alpha\)

\(\rm tr(A) \neq0\) 时， \(A\) 可以相似对角化

\(\rm A^k = tr(A)^{k-1} A\)

\(\alpha\) 是 \(A\) 的 \(\rm tr(A)\) 特征值对应的的特征向量

\(|\lambda I-A| = \lambda^{n-1}[\lambda-tr(A)]\)

\(m_{\lambda}(A) = \lambda [\lambda-tr(A)]\)

\(A\) 的非零奇异值为 \(\|\alpha\|_2 \|\beta\|_2\)

\(\|A\|_2 = \|\alpha\|_2 \|\beta\|_2\)

矩阵的2范数即为最大奇异值

\(\|A\|_F = \|\alpha\|_2 \|\beta\|_2\)

若\(B\)是秩为\(m\)的单纯矩阵，则\(B\)必可写成\(m\)个秩一矩阵之和

重要概念

共轭Conjugate

对复数 \(w=a+ib\)

\(\overline{w}=\overline{a+bi}=a-bi\)

矩阵的共轭——矩阵内每个元素取共轭

\(\overline{A}=(\overline{a_{i,j}})\)

性质

实矩阵

\(\overline{A}=(\overline{a_{i,j}})=(a_{i,j})=A\)

\(\text{对于任意 } A=A_{m\times n}\in\mathbb{C}^{m,n}, B=B_{m\times p}\in\mathbb{C}^{n,p}\)

\(\overline{(AB)}=(\overline{A})(\overline{B})\quad\)

共轭转置=转置共轭

\(A^H=\overline{A}^T=\overline{A^T}\)

性质

\({(A^H)}^H=A\)

\((A+B)^H=A^H+B^H\)

\((kA)^H=\overline{k}(A^H)\)

\(k\in C\) （复数）

\((ABC)^H=C^HB^HA^H\)

\(\displaystyle (e^A)^H=e^{A^H}\)

矩阵的模/范数

\(||A||=\sqrt{\sum|a_{i,j}|^{2}}\)

向量的模

\(|| X||=\sqrt{(X,X)}=\sqrt{\left|x_1\right|^2+\left|x_2\right|^2+\cdots+\left|x_n\right|^2}\geq0\)

性质

\(∀x,y∈V\) 和 \(k∈F\)

迹

参考来源

\(tr(A)=a_{11}+\ldots+a_{nn}\)

tips

\(\rm tr(ABC)=tr(BCA)=tr(CAB)\)

proof

\(\rm tr(kA)=k\cdot tr(A)\)

\(\rm tr(A+B)=tr(A)+tr(B)\)

\(\displaystyle \frac {\partial tr(AB)}{\partial A}=\frac {\partial tr(BA)}{\partial A}=B^T\)

矩阵乘积的迹关于第一个矩阵的梯度等于第二个矩阵的转置

proof

\(\displaystyle \frac {\partial tr(A^TB)}{\partial A}=\frac {\partial tr(BA^T)}{\partial A}=B\)

\(\rm tr(A) =\sum_i\lambda_i\)

矩阵的迹为所有特征值之和

\(\rm tr(A)=tr(A^T)\)

模平方公式

\(tr(A^{H}A)=tr(AA^H)=\sum|a_{i,j}|^{2}={||A||}_F^2\)

\(\begin{aligned}tr(AA^{H})&=tr[(A^{H})^{H}A^{H}]\\&=||A^{H}||^{2}\\&=\sum|\overline{a_{ij}}|^{2}\\&=||A||_F^{2}\end{aligned}\)

推导前提——列向量的模平方公式

对于一个列向量\(X\)—— \(X^HX={\|X\|}^2\)

\(\mathrm{tr}(X^HX)=\mathrm{tr}(XX^H)=\left|x_1\right|^2+\left|x_2\right|^2+\cdots+\left|x_n\right|^2=\sum\left|x_j\right|^2\overset{\text{记为}}{\operatorname*{=}}|\mathbf{X}|^2\)

推广公式

已知 \(A=(a_{ij})_{m\times n}、B=(b_{ij})_{m\times n} \in \Bbb C^{m\times n}\) 则

\(tr(AB^H)=tr(B^HA)=\sum a_{ij}\overline{b_{ij}}\)

\(tr(AB^T)=tr(B^TA)=\sum a_{i,j}b_{i,j}\)

\(\mathrm{tr}(XY^{H})=\mathrm{tr}(Y^{H}X)=Y^{H}X=x_{1}\overline{y}_{1}+\cdots+x_{n}\overline{y}_{n}\)

\(\mathrm{~for~}X,Y\in\mathbb{C}^{\mathrm{n}}\)

全体特征根

\(\lambda(A)=\{\lambda_1,\ldots,\lambda_n\}\)

特征值

设矩阵\(A∈ℂ^{n×n}\)的 \(n\) 个特征值为 \(λ_1,⋯,λ_n\)

则矩阵\(A^m\) 的n个特征值为 \(λ_1^m,⋯,λ_n^m\)

设矩阵\(A∈ℂ^{n×n}\)的 n 个特征值为\(λ_1,⋯,λ_n\)，\(φ(λ)\)为任一多项式

则矩阵多项式\(φ(A)\)的n个特征值为\(φ(λ_1),⋯,φ(λ_n)\)

矩阵分析：特征值，相似度对角化，Jordan标准形_jordan标准型和特征值的关系-CSDN博客

补充性质

特征子空间

设\(\lambda\)是矩阵\(A\in \Bbb C^{n\times n}\)的一个特征值

\(E(\lambda )=\{x∈\Bbb C^n|Ax=\lambda x\}\)

\(E(\lambda )\)是\(\Bbb C^n\)的线性子空间，称为属于特征值\(\lambda\)的特征子空间

\(\rm dim E(λ_i)=n−rank(\lambda_i I−A)\)为特征值\(\lambda_i\)的几何重数

代数重数

矩阵\(A\)的特征值\(λ_i\)作为特征方程根的重数，称为特征值\(\lambda_i\)的代数重数

!!! 几何重数\(\leq\)代数重数

复方阵某一特征值的代数重数为1，则它的几何重数必为1

示例

\(\rm dim(E(\lambda))\ge1\)

右逆、左逆

A有右逆 的充要条件（即存在矩阵B使得\(AB= I\)）

A为行满秩矩阵

A有左逆 的充要条件（即存在矩阵B使得\(BA= I\)）

A为列满秩矩阵

内积Inner product

定义在\(\Bbb C^n\)（列） 上的内积

\(X\)与\(Y\) 都是 \(C^n\) 上的列向量

\(X\)与\(Y\)的标准内积

\((X,Y)=Y^HX=\mathrm{tr}(XY^H)=x_1 \overline{y_1}+\cdots+x_n \overline{y_n}\)

\(X=\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix}, Y=\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots\\y_{n}\end{pmatrix}\in\mathbf{C}^{n}\)

\(YX^H=(Y,X)=\overline{(X,Y)}\)

特例

\((X,X)=\mathrm{tr}(XX^H)=X^HX=x_1\overline{x_1}+\cdots+x_n\overline{x_n}=\mid x_1\mid^2+\cdots+\mid x_n\mid^2=\mid X\mid^2\)

特性

\(\mid X\mid^2=(X,X)=\mathrm{tr}(XX^H)=\mathrm{tr}(X^HX)=X^HX=\mid X\mid^2\)

\(Y^HX=(X,Y) \\\) \(X^HY=(Y,X)=\overline{(X,Y)}\)

\(\mid kX\mid=\mid k\parallel X\mid\\ \mid\frac{X}{k}\mid=\frac{\mid X\mid}{\mid k\mid},(k\neq0);\quad\\ \mid X\pm Y\mid\leq\mid X\mid+\mid Y\mid.\)

模长性质

如果 \(X \ne 0\) 则 \(\frac{X}{|X|}\) 是单位向量

单位化公式

内积性质

\((X,X)\ge 0\)

\((Y,X)=\overline{(X,Y)}\)

\((kX,Y)=k(X,Y)\\ (X,kY)=\overline{k}(X,Y)\)

\(k\in C\)

\((X+Y,W)=(X,W)+(Y,W),\\(W,X+Y)=(W,X)+(W,Y)\)

\(| (X,Y) |^{2}\leq(X,X)(Y,Y)\\ \mathrm{i.e.} | (X,Y) |\leq| X |\cdot| Y|\)

定义在\(\Bbb C^{m\times n}\)（复矩阵空间）上的内积

定义

\(\begin{aligned}(A,B)&\triangleq tr(B^HA)=tr(AB^H)=\sum a_{ij}\overline{b_{ij}} ,A,B\in C^{m,n}\\(A,A)&\triangleq tr(A^HA)=tr(AA^H)=\sum a_{ij}\overline{a_{ij}} =\sum|a_{ij} |^2\end{aligned}\)

特性

\((A,A)=tr(AA^H)=\sum\Bigl|a_{ij}\Bigr|^2\geq0\)

\((B,A)=\overline{(A,B)}\)

\((kA,B)=k(A,B)\)

\((A,kB)=\overline{k}(A,B), k\in\mathbb{C}\)

\((A+B,D)=(A,D)+(B,D)\)

\((D,A+B)=(D,A)+(D,B)\)

性质

\(|(A,B)|^2\le(A,A)(B,B)，\text{即}|(A,B)|\le\|A\|\cdot\|B\|\)

内积形式（列分块）

\(\begin{aligned}A&=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1p}\\\vdots&\ddots&\vdots\\a_{n1}&\cdots&a_{np}\end{pmatrix}\in C^{n\times p}\\&=(\alpha_1,\cdots,\alpha_p),\text{其中}\alpha_i\text{为}n\text{维列向量}(n\times1\text{阶矩阵})\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}A^{H}& =\begin{pmatrix}\overline{a_{11}}&&\cdots&&\overline{a_{n1}}\\\vdots&&\ddots&&\vdots\\\overline{a_{1p}}&&\cdots&&\overline{a_{np}}\end{pmatrix} \in C^{p\times n} \\&=\begin{pmatrix}\overline{\alpha_1}^T\\\vdots\\\overline{\alpha_p}^T\end{pmatrix}\text{,其中}\overline{\alpha_1}^T\text{是}n\text{维行向量}1\times n\text{阶矩阵}\end{aligned}\)

\(\begin{aligned}A^{H}A& =\begin{pmatrix}\overline{\alpha_1}^T\\\vdots\\\overline{\alpha_p}^T\end{pmatrix}(\alpha_1,\cdots,\alpha_p) \\&=\begin{pmatrix}\overline{\alpha_1}^T\alpha_1&&\overline{\alpha_1}^T\alpha_2&&\cdots&\overline{\alpha_1}^T\alpha_p\\\overline{\alpha_2}^T\alpha_1&&\overline{\alpha_2}^T\alpha_2&&\cdots&\overline{\alpha_2}^T\alpha_p\\\vdots&&\vdots&&\ddots&\vdots\\\overline{\alpha_p}^T\alpha_1&&\overline{\alpha_p}^T\alpha_2&&\cdots&\overline{\alpha_p}^T\alpha_p\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}(\alpha_1,\alpha_1)&&(\alpha_2,\alpha_1)&&\cdots&&(\alpha_p,\alpha_1)\\(\alpha_1,\alpha_2)&&(\alpha_2,\alpha_2)&&\cdots&&(\alpha_p,\alpha_2)\\\vdots&&\vdots&&\ddots&&\vdots\\(\alpha_1,\alpha_p)&&(\alpha_2,\alpha_p)&&\cdots&&(\alpha_p,\alpha_p)\end{pmatrix} \\&=\begin{pmatrix}\overline{(\alpha_1,\alpha_1)}&&\overline{(\alpha_1,\alpha_2)}&&\cdots&&\overline{(\alpha_1,\alpha_p)}\\\overline{(\alpha_2,\alpha_1)}&&\overline{(\alpha_2,\alpha_2)}&&\cdots&&\overline{(\alpha_2,\alpha_p)}\\\vdots&&\vdots&&\ddots&&\vdots\\\overline{(\alpha_p,\alpha_1)}&&\frac{\vdots}{(\alpha_p,\alpha_2)}&&\cdots&&\overline{(\alpha_p,\alpha_p)}\end{pmatrix} \\&==\begin{pmatrix}|\alpha_1|^2&\overline{(\alpha_1,\alpha_2)}&\cdots&\overline{(\alpha_1,\alpha_p)}\\\overline{(\alpha_2,\alpha_1)}&|\alpha_2|^2&\cdots&\overline{(\alpha_2,\alpha_p)}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\overline{(\alpha_p,\alpha_1)}&\overline{(\alpha_p,\alpha_2)}&\cdots&|\alpha_\text{p}|^2\end{pmatrix}\end{aligned}\)

正交orthogonal

定义

\(\begin{aligned}X\bot Y\iff(X,Y)=0& =x_1\overline{y_1} +x_2\overline{y_2} +\cdots+x_n\overline{y_n} \\&=\overline{\overline{x_1}\left.y_1\right.+\overline{x_2}\left.y_2\right.+\cdots+\overline{x_n}\left.y_n\right.} \\=(Y,X)\end{aligned}\)

\(X=\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots\\x_{n}\end{pmatrix}, Y=\begin{pmatrix}y_{1}\\\vdots\\y_{n}\end{pmatrix}\in\mathbf{C}^{n}\)

性质

\(X\perp Y\iff\big(Y,X\big)=\overline{(X,Y)}=y_1\overline{x_1}+y_2\overline{x_2}+\cdots+y_n\overline{x_n}=0.\)

\(X\perp Y\iff(Y,X)=0\iff(X,Y)=0\)

\(X\perp Y\iff\mathrm{X}^HY=0\iff Y^HX=0\)

\(\mathrm{X}^{H}Y=(Y,X)=\overline{(X,Y)},\quad Y^{H}X=(X,Y)\)

\(X\bot Y\Rightarrow aX\bot bY\)

\((aX,bY)=\overline{b}Y^HaX=a\overline{b}Y^HX=a\overline{b}(X,Y)=0\)

\(X_1\perp X_2\perp\cdots\perp X_n \\ \Rightarrow|c_1X_1\pm c_2X_2 \pm\cdots\pm c_nX_n|^2 =|c_1X_1|^2+ |c_2X_2|^2+\cdots+|c_nX_n|^2\)

此时\(X_1,X_2,\cdots,X_n\)称为一个正交组

tips

零向量θ与任何向量均正交

正交向量组要求向量均为非零向量

正交向量组线性无关

向量 \(X\) 与 \(Y\) 正交当且仅当 \(‖X+Y‖^2=‖X‖^2+‖Y‖^2\)

勾股定理

在 \(n\) 维内积空间中，正交向量组中的向量个数不会超过n个

拓展

矩阵合同

若\(P^HAP=B(P可逆)\)，则\(A\)与\(B\) 合同，记为 \(A\triangleq B\)

基本性质

对 称 性 : \(A\triangleq B\Longleftrightarrow B\triangleq A\)

传 递 性 : \(A\triangleq B， B\triangleq C\Longleftrightarrow A\triangleq C\)

矩阵相似

定义

tips

两矩阵相似的充分必要条件是两矩阵的特征矩阵相抵

矩阵的秩

矩阵秩越乘越小：\(r(AB)<\rm min\{r(A),r(B)\}\)

\(\rm r(A)=r(AB)\) 成立的充要条件是存在适当阶数的矩阵\(C\)使得\(ABC=A\)

一般的，若\(\rm (A-xI)(A-yI)=0\)，则 \(A\) 可以对角化

例子 proof

对于任意 \(n\) 阶矩阵 \(A\)，\(\rm rank(A^n)=rank(A^{n+1})\)

补充性质

一些结论

零化多项式

定义

给定矩阵\(A∈ℂ^{n×n}\)

若存在多项式\(g(λ)\)使得\(g(A)=0\)

则称\(g(λ)\)为\(A\)的零化多项式

性质

复方阵A的零化多项式有无数个，A阵特征多项式的所有倍式都是A阵的零化多项式

首1多项式

对于一元多项式 \(g(λ)=a_nλ^n+a_{n−1}λ^n−1+⋯+a_1λ+a_0\)

如果 \(a_n≠0\)，则称 \(a_nλ^n\)为多项式的首项

\(n\) 称为 \(g(λ)\) 的次数，记为 \(deg\big(g(λ)\big)=n\)

\(a_n\) 称为 \(g(λ)\) 的首项系数

若 \(a_n=1\)，则称 \(g(λ)\) 为首1多项式

最小多项式

定义

复方阵 \(A\) 的零化多项式中最小次数的首1多项式称为矩阵A的最小多项式

\(m_A(λ)\)

性质

矩阵A的最小多项式\(m_A(λ)\)是唯一的，且可整除矩阵A的任一零化多项式

特别的 \(m_A(λ) | f_A(λ)\)

矩阵A的特征多项式\(f_A(λ)\)与最小多项式\(m_A(λ)\)具有相同的根（不计重数）

矩阵A的最小多项式\(m_A(λ)\)必为特征多项式\(f_A(λ)\)的因式

例子

求法

利用Smith标准型求

利用特征多项式与定义求

利用Jordan标准型求

Jordan块

参考

定义

Jordan块

Jordan标准形

例子

Jordan标准形定理

设矩阵\(J\)是复方阵\(A\)的Jordan标准形，则矩阵\(A\)与矩阵\(J\)相似

例子

题目

解答

性质

任一Jordan块的最小多项式等于它的特征多项式，也是Jordan块所对应特征矩阵的初等因子

给定初等因子所作的最简\(\lambda\)矩阵就是Jordan块的特征矩阵

Jordan块本身就是一个Jordan矩阵

对角阵是一个Jordan矩阵，它的每个Jordan块都是一阶的 \(\Leftrightarrow\) A 的初等因子都是一次的

Jordan标准型中，不同Jordan块的对角线元素可能相同，故特征值\(\lambda_i\)的代数重数 \(\ge\) \(\lambda_i\) 对应的某个Jordan块的阶数

矩阵不一定可以相似对角化，但一定可以与Jordan矩阵相似

Jordan标准型求法

① 特征向量法

如果 \(\lambda_i\) 是 \(A\) 的单重特征值，则 \(\lambda_i\) 对应一阶Jordan块\(\rm J_1(\lambda_i)\)

如果 \(\lambda_i\) 是 \(A\) 的 \(r_i\) 重特征值（代数重数），设 \(\rm s_i=dim(E_{\lambda_i})\)

$E $ 指特征子空间，\(\rm dimE_{\lambda_i} = n-rank(A-\lambda_iI)\)等于\(\lambda_i\) 的几何重数

则对应 \(\lambda_i\) 有 \(\rm s_i\) 个 \(\lambda_i\)为对角元的Jordan块

且这些Jordan块的阶数之和等于 \(r_i\)

由\(A\)的所有相异特征值对应的Jordan块构成的Jordan矩阵即为\(A\)的Jordan标准型

例子

② 初等变换法

方法一

通过对\(\lambda I-A\)进行\(\lambda\)矩阵的初等变换得到Smith标准型

从而得到不变因子\(\Rightarrow\)初等因子\(\Rightarrow\)Jordan块

方法二

将\(\lambda I-A\)进行初等变换变成对角块矩阵

直接得到初等因子，从而得到Jordan块

③行列式因子法

通过定义求\(\lambda I-A\)的行列式因子

从而得到\(\Rightarrow\)不变因子\(\Rightarrow\)初等因子\(\Rightarrow\)Jordan块

Jordan分解方法

例子

Jordan标准型的幂

Jordan标准型求矩阵函数

\(f(A) = P f(J)P^{-1}\)

tips

利用Jordan标准型求矩阵最小多项式的方法

单 Jordan 块情况

当 \(J\) 仅包含一个 Jordan 块 \(J_1\) 时，\(J_1\)的最小多项式 \(\rm m_{J_1}(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}\)

\(\lambda_1\)是 Jordan 块 \(J_1\) 的特征值

\(k_1\)是 Jordan 块 \(J_1\) 的阶数

当 J 包含两个 Jordan 块 \(J_1\) 和 \(J_2\)

矩阵 \(J\) 的最小多项式为\(\rm m_{J_1}(\lambda)=(\lambda-\lambda_1)^{k_1}\)和\(\rm m_{J_2}(\lambda)=(\lambda-\lambda_2)^{k_2}\)的最小公倍数

一般的Jordan标准型 \(J\)

J 的最小多项式等于特征矩阵 \(\rm \lambda I-A\) 的初等因子的最小公倍数，恰为不变因子\(\rm d_n(\lambda)\)

例子

引理

映射、变换

设 \(V\) 和 \(W\) 是两个非空集合，\(f\) 是 \(V\) 到 \(W\) 的一个映射

单射

对任意 \(x_1,x_2∈V\)， 当 \(x_1≠x_2\) 时有 \(f(x_1)≠f(x_2)\)

满射

对任意 \(y∈W\) 都有一个元素 \(x∈V\) 使得 \(f(x)=y\)

即存在原像

双射

\(f\) 既是单射，又是满射

即一一对应

变换

设 \(V\) 是一个非空集合，\(V\) 到自身的映射称为 \(V\)的变换

V到自身的双射称为V的一一变换

若V是有限集，V的一一变换称为V的置换

线性映射、线性变换

定义

设 \(V\) 和 \(W\) 是数域 \(F\) 上的线性空间，如果映射 \(T:V→W\)满足下述性质，称 \(T\) 为 \(V\) 到 \(W\) 的一个线性映射

可加性：\(∀x,y∈V\) ，\(T(x+y)=T(x)+T(y)\)

齐次性：\(∀λ∈F\)，\(T(λx)=λT(x)\)

特别的，当 \(V=W\) 时， 称 \(T\) 为 \(V\) 上的线性变换

特殊的线性变换1

定义映射 \(T:V→V\)

零变换：\(T(x)=θ， ∀x∈V\)

恒等变换：\(T(x)=x，∀x∈V\)

负变换：\(T(x)=− x，∀x∈V\)

特殊的线性变换2

定义 \(T:ℝ^2→ℝ^2，∀x=[x_1,x_2]^T∈ℝ^2\)​

伸缩：\(T(x)=\bigg[ \begin{matrix} k_1 & 0 \\ 0 & k_2 \end{matrix} \bigg]x\)

\(k_1\) 和\(k_2\) 为正常数

​

反射：\(T(x)=(x_1,−x_2)\)

旋转：\(T(x) = \bigg[ \begin{matrix} cos\varphi & -sin\varphi \\sin\varphi & cos\varphi \end{matrix}\bigg]x\)

\(\varphi\) 为旋转角

关于线性映射的tips

定理 设\(T\)是数域 \(F\)上线性空间 \(V\) 到 \(W\)的线性映射，若\(α_1,⋯,α_p\)是 \(V\) 的一组向量，\(k_1,\cdots,k_p \in F\)

\(T(k_1α_1+⋯+k_pα_p)=k_1T(α_1)+⋯+k_pT(α_p)\)

推论 设\(T\)是数域 \(F\)上线性空间 \(V\) 到 \(W\)的线性映射

\(T(θ)=θ^′， θ∈V，θ^′∈W\)

几何意义——线性映射必须保持原点不动，故解析几何中常见的平移变换一般不是线性变换

\(T(−x)=−T(x)，∀x∈V\)

若 \(α_1,⋯,α_p\) 是 \(V\) 中一组线性相关向量, 则\(T(α_1),⋯,T(α_p)\)是\(W\)中一组线性相关向量

若 \(T(α_1),⋯,T(α_p)\) 是 \(W\) 中一组线性无关向量，则 \(α_1,⋯,α_p\) 是 \(V\) 中一组线性无关向量

定理 设\(T\)是数域 \(F\)上 \(n\) 维线性空间 \(V\) 到 \(m\) 维\(W\)的线性映射

当且仅当 \(T\) 是单射时，\(V\)中线性无关向量组的像是\(W\)中线性无关向量组

当且仅当 \(T\) 是单射时，\(V\)中一组基的像是 \(W\) 中一组基。

此时映射 \(T\) 是双射

线性映射不一定将一组基映射为像空间的一组基

关于线性变换的tips

设 \(T\) 是线性空间 \(V\) 的线性变换

若 \(T\) 可逆，则逆变换是线性变换

若 \(T\) 在欧式空间\(V\) 的一组标准正交基 \(x_1,\cdots,x_n\) 的矩阵是对称阵，则 \((T(x_i),x_j)=(x_i,T(x_j))\)

线性映射运算

线性映射的加法运算

设 \(T_1, T_2\in \mathcal L(V,W)\)，定义 \(T_1\) 与 \(T_2\) 的和为\(\\\) \((T_1+T_2)(x)=T_1(x)+T_2(x)\)，\(\forall x∈V\)

线性映射的数乘运算

设\(T\in \mathcal L(V,W)，\lambda \in F\)， 定义 \(λ\) 与 \(T\) 的数乘为\(\\\) \((\lambda T)( x)=\lambda\cdot T( x)\)，\(\forall x∈V\)

线性映射空间、线性变换空间

集合 \(\mathcal L(V,W)\) 中赋以加法和数乘构成数域\(F\)上的线性空间，称为线性映射空间

\(\mathcal{L}(V,W)\)表示线性空间V到W的所有线性映射的集合

特别地，\(\mathcal L(V)\)称为线性变换空间

注意：\(\rm dim(\mathcal L(V,W)) = \rm dim(V) \times \rm dim(W)\)

线性映射值空间和核空间

定义

设 \(T \in \mathcal L(V,W)\)

线性映射\(T\)的核空间 (零空间)

\(N(T)=\{x∈V|T(x)=θ\}\)

\(T\)的零度 (亏)

\(\rm dim(N(T))\)

线性映射\(T\)的值空间（像空间）

\(R(T)=\{y∈W|y=T(x),∀x∈V\}\)

\(T\)的秩

\(\rm dim(R(T))\)

性质

设\(V\)和\(W\)是数域\(F\)上的\(n\)维和\(m\)维线性空间，若\(T∈L(V,W)\)在\(V\)的基\(ε_1,⋯,ε_n\)和\(W\)的基\(η_1,⋯,η_m\)下的矩阵为\(A\)

\(\rm dimN(T)= dimN(A)\)

\(\rm dimR(T)=dimR(A)=rank(A)\)

\(\rm dimN(A)+dimR(A)=n\)

正交投影变换

设 \(W\) 是线性空间 \(V\) 的非平凡子空间，定义 \(V\) 上的正交投影变换映射 \(T\)为

平凡子空间指零向量和自身

\(T(x)=\mathrm{Proj_W}x\)

\(∀x∈V\)

若\(\alpha_1,\cdots,\alpha_p\) 为 \(W\) 的标准正交基

\(T(x)=\mathrm{Proj_W}x\\=(x,\alpha_1)\alpha_1+(x,\alpha_2)\alpha_2+\cdots+(x,\alpha_p)\alpha_p\)

亏加秩定理

正交变换、酉变换

定义

若欧氏 (酉)空间中的线性变换 \(T\) 保持向量的内积不变

\((T(x),T(y))=(x,y)，∀x,y∈V\)

称 \(T\) 为正交（酉）变换

判定（充要条件）

设\(V\)是\(n\)维欧氏（酉）空间，\(T∈\mathcal L(V)\)

\(T\)保持长度不变，即 \(\|T(x)\|=\|x\|\)

若 \(ξ_1,⋯,ξ_n\) 是\(V\) 中一组标准正交基，\(\\\) 则\(T(ξ_1),⋯,T(ξ_n)\) 也是\(V\) 中一组标准正交基

\(T\)在\(V\)的任一标准正交基下的矩阵为正交（酉）矩阵

性质

正交变换保持两个向量的夹角不变

同构映射

定义

其实就是线性映射+双射

设\(V\)和\(W\)是数域\(F\)上的线性空间，\(\forall x,y\in V\)， \(\forall λ\in F\)

存在双射 \(f:V→W\)满足

（1）\(f(x+y)=f(x)+f(y)\)

（2）\(f(\lambda x)=\lambda f(x)\)

则称线性空间\(V\)与\(W\)同构，\(f\)是\(V\)到\(W\)的同构映射

性质

设V和W是数域F上的线性空间，T: V→W是同构映射

\(T(\theta) = \theta^{\prime}\)，\(\theta\in V,\theta^{\prime}\in W\)

\(T(-x)=-T(x)\)，\(\forall x\in V\)

\(T(\sum\alpha_ix_i) = \sum \alpha_iT(x_i)\)，\(\forall \alpha_i\in F,\forall x_i\in V\)

\(V\)的向量组 \(x_1,⋯,x_r\) 线性相关当且仅当其像\(T(x_1),⋯,T(x_r)\)线性相关

若 \(ε_1,⋯,ε_n\) 是\(V\)的一组基，则\(T(ε_1),⋯,T(ε_n)\)是\(W\)的一组基

\(T\)的逆映射\(T^{−1}: W→V\)存在且是同构映射

tips

线性空间同构当且仅当它们的维数相等

任一实（复）\(n\) 维线性空间均与 \(\Bbb R^n（\Bbb C^n）\) 同构

设\(V\)是数域 \(\Bbb R（\Bbb C）\)上的\(n\)维线性空间，则线性变换空间\(L(V)\)与 \(\Bbb R^{n\times n}\)（或 \(\Bbb C^{n\times n}\)）同构

通过矩阵乘法实现线性映射

矩阵

线性映射与矩阵的关系

示例

通过矩阵乘法实现线性映射

设 \(T\in \mathcal L(V,W)\)，\(T\)在\(V\)的基\(ε_1,⋯,ε_n\)和\(W\)的基\(η_1,⋯,η_m\)下的矩阵为\(A\)。

\(\Rightarrow\) \(T(ε_1,⋯,ε_n)\\ \triangleq[T(ε_1),⋯,T(ε_n)]\\=[η_1,⋯,η_m]A\)

\(\forall x\in V\)，设

\(x=[ε_1,⋯,ε_n] \alpha\)

\(T(x)=[η_1,⋯,η_m]\beta\)

\(\Rightarrow\) \(\beta=A \alpha\)

tips

线性映射在不同基下的矩阵是相抵的

推论

相似矩阵反映的是同一个线性变换

重要公式、定理

许尔公式

\(每个n 阶方阵\mathbf{A}=\mathbf{A}_{n\times n}\\ \text{都存在优阵 }\mathbf{Q}\\ \text{ 使得}\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\mathbf{D}=\begin{pmatrix}\lambda_1&\cdots&*\\&\ddots&\vdots\\0&&\lambda_n\end{pmatrix}\text{为上三角}\)

Schur引理

酉相似三角化

任意复方阵\(A\)酉相似于上三角阵\(\Lambda\)

即存在U阵 \(U\) 使得 \(U^HAU=Λ\)

\(U^HAU=Λ\)

\(Λ\)——上三角矩阵

\(U\)——U阵

实方阵Schur引理

设\(A∈ℝ^{n×n}\)的特征值均为实数，则存在正交矩阵 \(Q\) 使得

tips

Schur引理表明任意复方阵都相似于上三角阵，但并不是所有复方阵都相似于对角阵

可酉相似对角化的矩阵

正规阵

Hermite阵、反Hermite阵、正交阵、酉矩阵等都是正规阵

Householder矩阵

求Hermite矩阵\(A\)酉相似于对角阵的步骤

求出A的全部相异特征值及重数

对于每个特征值 \(λ\)，求方程\((λI−A)x=0\)的一个基础解系，并将其单位正交化处理

由标准正交特征向量生成酉矩阵\(Q\)，则\(Q^TAQ\)是对角矩阵

换位公式

特商公式

\(\displaystyle\lambda=\frac{X^HAX}{|X|^2},\text{其中}(X\neq0\text{为}\lambda\text{的一个特征向量})\)

\(\text{证明}:X^HAX=X^H\lambda X=\lambda X^HX=\lambda|X|^2(|X|^2>0)\)

平方公式

若 \(A\) 为半正定（\(A\ge 0\)），或 \(A\) 为正定（\(A>0\)）

则有分解 \(A=B^2\)，且 \(B^H=B\) 为 \(Hermite\) 半正定（\(B\ge0\)）

\(B\) 叫 \(A\) 的平方根，记作 \(\displaystyle B=\sqrt{A}=A^{\frac12}\)

秩公式

\(r(AA^H)=r(A^HA)=r(A)\)

亏加秩定理

设T为数域F上的线性空间V到W的一个线性变换，即\(T \in \mathcal{L}(V,W)\)

\(\rm dimN(T)+dimR(T)=dimV\)

即线性映射 \(T\) 的亏加秩等于其定义域 \(V\) 空间的维数

Cayley定理

\(n\) 阶方阵的特征多项式 \(T(x)=|xI-A|\) 也是它的一个 零化多项式，\(\\\)即有 \(T(A)=0\)

由该定理得到的有趣性质

若\(A\in C^{n\times n}\)，则\(A^n\)一定可以由\(A^{n-1},\cdots,A,I\)线性表示，其中\(n\geqslant2。\)

例题

Cauchy—Schwarz不等式

定义

设\(V\)是数域\(F\)上的内积空间，对 \(\forall x, y∈V\)，有 \(|(x,y)|≤‖x‖‖y‖\)

注意：一般的线性空间不一定成立

其中等号成立当仅当 \(x, y\)线性相关

三角不等式

设 \(V\) 为欧式空间，则对任意的 \(\alpha,\beta\in V\)，有

\(|\alpha+\beta|\le |\alpha|+|\beta|\)

拓展

定义不同内积可得到不同的Cauchy不等式

对 \(ℝ^n\) 中任两向量 \(x=[x_1,⋯,x_n]^T\)和 \(y=[y_1,⋯,y_n]^T\)

\(\displaystyle \left|\sum_{i=1}^nx_iy_i\right|\leq\sqrt{\sum_{i=1}^nx_i^2}\sqrt{\sum_{i=1}^ny_i^2}\)

Holder不等式

\(\forall x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T \in \Bbb C^n，y=[y_1,y_2,\cdots,y_n]^T \in \Bbb C^n\)

设 \(p,q>1\)，且\(\displaystyle \frac1p + \frac1q=1\)

\(\displaystyle \sum_{i=1}^n|x_iy_i|\le \bigg(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\bigg)^{\frac1p}\bigg(\sum_{i=1}^n |y_i|^q\bigg)^{\frac1q}\)

Minkowski不等式

\(\forall x=[x_1,x_2,\cdots,x_n]^T \in \Bbb C^n，y=[y_1,y_2,\cdots,y_n]^T \in \Bbb C^n\)

\(p\ge1\)

\(\displaystyle \bigg(\sum_{i=1}^n|x_i+y_i|^p \bigg)^{\frac1p}\le \bigg(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\bigg)^{\frac1p}+\bigg(\sum_{i=1}^n |y_i|^p\bigg)^{\frac1p}\)